中学数学の因数分解の解き方｜簡単に解くコツを図解でわかりやすく解説

「因数分解のやり方がわからない」

「たすき掛けってどうやればいいの？」

ここでは因数分解のやり方と、たすき掛けなどの因数分解ができるようになるコツを紹介します。

もしうまくいかずに悩んでいるなら、まずはこのように考えて取り組めば大丈夫です。

因数分解とは2次方程式や2次関数を解くために必要な「式変形の一つ」のことです。

因数分解という言葉だけを見ると少し難しく感じるかもしれませんが、因数分解は以下の3つのポイントを押さえるだけでしっかりと得点することができる単元です。

• 因数分解は公式でできる
• 因数分解は練習すればすぐ上達する
• たすき掛けは仕組みがわかればできる

因数分解は公式を使った練習をしておけば必ずできるようになります。

そして因数分解ができると、高校受験でも大学受験でも学習する「2次方程式｣や「関数」もわかるようになります。

因数分解は避けては通れない数学の重要な考え方の一つなので、ここで得意にしておきましょう！

この記事でわかるポイント

因数分解とは

冒頭でもお伝えしましたが、因数分解は2次方程式や2次関数を解くために必要な「式変形の一つ」です。

それぞれの係数に注目して、公式に当てはめるか、たすき掛けを使って考えます。

まずは因数分解がどんなものか確認してみましょう。

因数とは

数学の学習で因数というのは「式を作るもと」のことを表しています。

たとえば

のように、30という整数はかけ算の形で表すことができます。
この時、かけ算の一つひとつの数のことを「因数」といいます。30なら、2と3と5という整数のかけ算になっていることがわかります。

これは文字を使った式でも同じことで、

というように表すことができ、6xという式の因数は2と3とxということになります。

因数は数を作っている「もと」のことなのです。

因数分解するとは式を因数のかけ算の形にすること

分解と聞くと細かく切り分けていくイメージですが、因数分解とはかけ算の式に変形することです。
それによってxの値を求めることもできます。

数学的にいうと、因数分解は式を「因数の積（かけ算）の形」にすることです。

例を出してみましょう。

という式は次のように積（かけ算）の形にすることができます。

このように文字と数のかけ算にできます。そしてこれをまとめて整理すると

上のように、x と x+4のかけ算の形に整理ができました。
このように積（かけ算）の形にした時に使った、xとx+4のことを式の因数といいます。

　

そのため数式を作っているもの、つまり因数がわかるように積の形ににすることを
「因数分解」といいます。

反対に積の形からもとの形に戻すことを「展開」といいます。これまでの学習でも取り組んできたでしょう。

なぜ因数分解するのか

なぜ因数分解をする必要があるのでしょうか？

その理由は「2次方程式を解く」ために因数分解を使うからです。

中3になって2次方程式の問題が出てきました。それまでの1次方程式とは違って、方程式の答えである解が2つ出てくるようになったことに気がつきましたか？
方程式を解く方法は

・平方根で考える
・解の公式で考える
・因数分解で考える

の3通りです。そのため因数分解をして方程式の解を見つけて、方程式を解きます。

このように使います。

この方程式を解く時には、因数分解を使うのが一番簡単で速いです。

と因数分解できるので方程式の解は

というように求めることができます。

因数分解は方程式を解くために練習していたのです。

因数分解の公式一覧とやり方

因数分解は公式を使って考えれば、すぐにできるようになります。大切な公式は次の4つです。

4つの公式の使い方をそれぞれ確認してみましょう

まず公式①は一番よく使う公式です。因数分解の問題でも、この形式が一番よく出てきます。この後のポイントでも説明しますが、

「の係数」
「数字だけの項（例の数だけの項12のこと）」

に注目すると答えを見つけやすくなります。

ここではに気づくこと、そしてになっていることを見つけることができれば
となることがわかります。

次に公式②です。これはわかりやすく、の係数が2と何かの数の積（かけ算）になっています。例の問題の

になっていること
になっていることがわかると

であることがわかります。

次に③の公式です。この公式は因数分解の公式②の＋aの符号がーになっているものです。考え方は同じです。

最後に公式④です。これは、すぐに気づくことができるタイプです。項が2つだけで、負の二乗の数になっているので、何を二乗すればよいか考えます。
となるため、この因数分解はになることがわかりますね。

まずはどの公式で考えればよい問題なのかを、練習して見つけられるようにしましょう。

たすき掛けの因数分解のやり方

因数分解の中には「たすき掛け」というやり方があります。

たすき掛けとはかけ算の組み合わせを考えて因数分解をする方法です。
公式にして考えると次のようになります。

たとえば次のような問題で考えてみましょう。

このような問題がたすき掛けを使った問題です。

どんな時に必要なのかというと、の係数、つまりに数字がついているけれど、その数字が1や4、そして9といった2回かけ算（二乗）した数になっていない時に使います。2や3、そして5などは2回かけ算（二乗）した数ではないので、たすき掛けを活用して考えます。

まず、の係数が8であることが、これまでの公式と違います。8は次のような積でしか表すことができません。

8はかでしか積の形で表せない。
これまでの公式のようにのような式で表すことができません。

そして同じように15が何の積なのか考えます。
15はかのどちらかで積の形になります。

8と15になるような組み合わせを考えていく時に使うのがたすき掛けです。

図にまとめると次のようになるので確認してみましょう。

整理すると次のようになります。

表のように進めるとの係数が2と4になります。そしてこの組み合わせを考えていくとこの式を因数分解すると(になるとわかります。

因数分解の練習問題

それでは公式の理解と練習のために問題演習をしてみましょう。

因数分解の練習問題4選

それぞれ公式と、(4)はたすき掛けを使って考えてみましょう。

因数分解の練習問題4選の解説

それでは解答です。

因数分解を簡単に解くコツ

｢因数分解、何か簡単にできる方法があれば、楽なのにな〜｣と思いませんか？
実は簡単にできる方法があって、数式が因数の積（かけ算）になっていることを活用します。

ポイントは「の係数」に注目することです。

この3つに注目すれば、4つある公式のうちのどれを使って考えればよいかがすぐわかります。

1.2 × (   ) × x になっているか確認する

例を出して考えてみましょう。

を因数分解しようと思ったら、xの係数に注目してみましょう。そうすると

になっていることがわかると思います。そのため、公式の②のやり方で

とすぐ求めることができます。複雑なように見えてもまずはそこに注目してみましょう。

の符号と数字だけの項の符号に注目

の符号と数字だけの数字だけの項の関係がわかっていると、因数分解がしやすくなります。

たとえば

という式の因数分解を考えましょう。の係数は−3なので、公式②③④は使えません。よって公式①を使うことになります。次に符号を見ます。

の符号は－、数字だけの項は＋です。ということは、足して－、掛けて－になっているので、＋の符号の正の数とーの符号の負の数を使う因数分解だということがわかります。

次に掛けて−4になる数を考えます。そうすると、1と4のかけ算ではないか？ということに気がつきます。ここまで来たらもうできたも同然。次に足して-3になる数のことを考えると+1と-4になることがわかります。そのため因数分解すると

これで、因数分解ができあがりました。2つの項の特徴をつかむと因数分解は速く、正確にできるようになります。符号に注目しながら練習してみてください。

うまくいかないなら数字だけの項を素因数分解する

このような問題は②と③の公式が使えそうで、使えません。もちろん④は違います。それでは次に符号に注目しましょう。そうするとxの係数も数字のみの項の符号も両方が「ー（マイナス）」。

こんな時は96の素因数分解をします。これは24という数がどんな因数でできているかを考える問題でした。そうすると

となります。この中から、組み合わせを考えていきますが、ここで掛けて−2、足して-24になるものを考えます。そうすると

+4と-6 なら掛けて-2、足して-24になる。だから、

と求めることができます。

最初は慣れないかもしれませんが、練習しているうちにすぐにできるようになっていくので、安心してチャレンジしてくださいね。

中学数学を効率的に勉強する方法

中学数学は次のように進めると効率的に勉強することができます。
効果的に学習するためには、やることをハッキリさせて、時間の目標を立てておきましょう。

計算力をつけるため、時間を決めて計算練習をする

数学に欠かせないのが計算力です。四則計算、方程式や関数の式の変形などが速くできると、計算で間違いが減るほか、思考力を使う問題に時間をかけることができるようになります。

公立高校を受験するのにも、私立高校を受験するのにも必ず必要です。

学校のワークや、問題週などを一回10〜15分程度でもよいので、分野ごとに計算練習をしてみましょう。高校受験でも計算問題はほとんどの高校で出題されます。

特に次のような単元は定期的に練習をしておきましょう。

・正負の数四則問題
・1次方程式
・連立方程式
・因数分解
・平方根の計算
・分数や小数の計算

計算練習は同じことを速く正確にするトレーニング。筋トレなどと同じで継続的に続けて効果が出る学習です。
また反復して力が伸びる学習でもあります。

思考力をつけるため、文章題に定期的に取り組む

文章問題は定期的に取り組むのがおすすめ。文章問題を苦手とする生徒は多いですが、自分はできるという得意分野にしてしまいましょう。

たとえば文章題は次のように進めましょう。

・時間を決めて解答する
・採点し、解説をよく読み解き方を理解する
・もう一度できるかどうか解いてみる

特にいくつかの分野が混ざった問題が高校入試では出題されるため、その練習もしておくと数学がどんどんできるようになります。特に取り組んでおいてほしいのが次の問題です。

・連立方程式や2次方程式
・関数とグラフを使う問題
・図形の証明
・空間図形の問題

図形と関数の問題のように、1次関数や2次関数と図形の面積の融合問題などは受験などではよく出題されます。ほかにも空間図形と表面積、体積の問題なども、決まった時間の中で解けるようにするため、練習しておきたいものです。

いくつかの分野が混ざった融合問題などは、解くのにも復習にも時間がかかります。学校の定期テストを中心に、実力テストや模擬試験で得点が取れるように、思考力をつけましょう。

学校よりも先取り学習をし、学校の学習を復習にする

数学の効率を上げるためには、先取り学習がおすすめです。

先取り学習をすると、学校の成績も伸びやすくなり、時間的な余裕もできるからです。
家庭学習や塾などで学校の数学よりも先に学習をして、学校の授業に復習として取り組みます。

2〜3週間の先取りを目標に数学を進めましょう。

先取りをした学習をしていると、同じ学習範囲に触れる機会が増えます。成績を上げるコツの一つが学習機会と量を増やすことです。先取り学習なら学校より先に1回、学校で1回、学校の宿題や課題で1回というように学習をすることができるので、その結果効率よく学習することができます。

プロの力を借りる

プロである家庭教師や塾で数学の学習をすることでも効率はよくなります。
プロは数学が上達するまでのカリキュラムや指導方法を知っていて、自分一人では気づけない最短ルートを示してくれるので効率が上がります。
プロに教わるとよい点には次の3つがあります。

・今やるべきことがわかる
・必要な教材で学習できる
・最短スケジュールでできるようになる

3つとも自分で準備をするには時間も必要で、勉強したいのに準備に時間が取られてしまいます。数学を効率よく学習したいのであれば、プロの手を借りることで、最短時間で効率よく学習できるようになるでしょう。

まとめ

因数分解の公式とやり方はわかってきましたか？
大切なポイントを以下にまとめておきました。

因数分解とは

因数分解ができるようになると、2次方程式の問題や2次関数の問題が解けるようになります。上手に使いこなせるようにしましょう。

因数分解を簡単に進めるには

公式を上手に使うことと、素因数分解して考えることが因数分解の近道です。

因数分解が上手になると

因数分解が速く、正確にできるようになると定期テストはもちろん、模試や受験でも有利になります。因数分解は計算や数式の整理の一つ。ですから練習をして上手にできるようにしておきましょう。
練習すれば誰でもうまくできるようになるのが勉強のよいところ。ぜひチャレンジしてみてください。