【中1数学】反比例の式の求め方｜公式y=a/xと比例定数aをわかりやすく解説

反比例を学ぶ前に！比例と反比例の違い

反比例を理解するには、まず比例との違いをおさえておくことが大切です。以下の表で、2つの違いを確認しましょう。

比例とは（y＝axの関係）

比例とは、xの値が2倍、3倍になると、yの値も2倍、3倍になる関係のことです。式で表すと以下のようになります。

y＝ax

「a」は比例定数と呼ばれる数で、xとyの関係を決める数値です。

例えば、1個30円のお菓子をx個買ったときの合計金額yを考えてみましょう。x（個数）が増えるほど、y（合計金額）も同じ割合で増えていきます。

表を見ると、xが1→2→3と増えるにつれて、yも3→6→9と同じ割合で増えていることがわかります。これが比例の特徴です。

反比例とは（xが増えるとyが減る関係）

反比例とは、xの値が2倍・3倍になると、yの値が1/2・1/3になる関係のことです。比例とは逆に、xが増えるとyが減り、xが減るとyが増えます。

たとえば、面積が12の長方形の縦の長さをx、横の長さをyとして考えてみましょう。

xが1→2→3と増えるにつれて、yは12→6→4と減っていきます。これが反比例の特徴です。

比例との違いを改めて整理すると、以下のようになります。

• 比例：xが増えると、yも同じ割合で増える
• 反比例：xが増えると、yは逆の割合で減る

反比例の式のアドバイス

この「逆の動き」こそが、反比例の最大のポイントです。次のセクションから、反比例の式について詳しく見ていきましょう。

反比例の式とは？基本の形 y=a/x を覚えよう

反比例の式には、決まった形があります。式の形と、それぞれの記号の意味をひとつずつ確認していきましょう。

反比例の式は、以下のように表します。

y＝a/x（x≠0）

それぞれの記号の意味は次の通りです。

例えばy＝12/xという式であれば、xに2を入れるとy＝6、xに3を入れるとy＝4というように、xの値が決まれば自動的にyの値も決まります。

反比例の式のアドバイス

ポイントは、xが分母にある点です。xが大きくなるほどyは小さくなる、という反比例の「逆の関係」が、この式の形にそのまま表れています。

比例定数aとは（x×y＝a）

比例定数aとは、xとyをかけ合わせたときに必ず同じ値になる数のことです。

反比例では、xとyの値がどう変わっても、x×yの結果は常に一定になるという特徴があります。この一定の値がaです。

x × y ＝ a

たとえば、x＝2・y＝8のとき、

2 × 8 ＝ 16

なので、a＝16となります。

どの組み合わせでもx×yが16になっていることが確認できます。このaの値さえわかれば、反比例の式を作ることができます。

反比例のグラフの特徴

反比例のグラフには、比例のグラフ（直線）とは異なる、いくつかの特徴があります。

① なめらかな曲線になる

比例のグラフは直線ですが、反比例のグラフはなめらかな曲線（双曲線）になります。

② 原点を通らない

比例のグラフは原点（0,0）を通りますが、反比例のグラフは原点を通りません。x＝0のときyの値が定まらないためです。

③ 第1象限と第3象限に現れる 

aが正の数のとき、グラフは右上（第1象限）と左下（第3象限）の2か所に分かれて現れます。

「曲線になる」「2か所に分かれる」というイメージは押さえておきましょう。

反比例の式の求め方【2ステップで簡単！】

反比例の式を求めるには、x×yを計算して比例定数aを求める→式に当てはめるという2ステップで進めます。さっそく、以下の情報をもとに式を求めてみましょう。

x＝2、y＝8のとき、反比例の式を求めなさい。

ステップ1：xとyを掛けて比例定数aを出す

① x×yを計算してaを求める

2 × 8 ＝ 16　→　a＝16

ステップ2：aを y=a/x に当てはめる

② 求めたaをy＝a/xに当てはめる

a＝16なので、

y ＝ 16/x

これで式の完成です。「x×yを計算する→式に当てはめる」この流れを確実に身につけましょう。

テスト頻出！表から反比例の式を求める方法

反比例の問題では、表を見て式を求める問題がテストでよく出題されます。手順は前のセクションと同じですが、表から値を正しく読み取る練習をしておきましょう。

表の値から比例定数aを求める

以下の表を見て、反比例の式を求めてみましょう。

① 表からxとyの値を1組読み取る

x＝1、y＝6の組み合わせを使います。

② x×yを計算してaを求める

1 × 6 ＝ 6　→　a＝6

求めたaを式に当てはめる

比例定数aが求まったら、あとはy＝a/xに当てはめるだけです。

③ a＝6をy＝a/xに当てはめる

y ＝ 6/x

これで式の完成です。

④ 式を使って表の空欄を埋める

x＝2のときy＝6/2＝3、x＝3のときy＝6/3＝2というように、求めた式を使えば表の空欄もすべて埋めることができます。

反比例の式のアドバイス

表の問題を解くときは「1組の値を読み取る→aを求める→式に当てはめる」という手順を覚えておきましょう。

反比例の式でつまずきやすい「2つの落とし穴」

反比例の式は、理解できたようで実際の問題になるとミスが出やすい単元です。ここでは特につまずきやすい2つの落とし穴を確認しておきましょう。

比例の式（y＝ax）と混同してしまう

反比例で最も多いミスが、比例の式と混同してしまうケースです。2つの式を並べて確認しましょう。

見た目は似ていますが、反比例はxが分母にある点が大きな違いです。式を書くときは「xは分母か、分母でないか」を意識するだけで、混同を防ぐことができます。

aを求めるときに「割り算」をしてしまう

もうひとつよくあるミスが、aを求めるときにy÷xで計算してしまうケースです。

y÷xはy＝axの比例の式でaを求めるときの計算方法です。反比例と比例でaの求め方が異なる点に注意しましょう。

反比例の式のアドバイス

反比例の式y＝a/xをxとyでaを求める形に変形すると、a＝x×yになります。「反比例のaはかけ算で求める」と覚えておくと、テストで迷ったときに混乱しにくくなります。

反比例の式の練習問題に挑戦！

ここまで学んだ内容を使って、実際に反比例の問題を解いてみましょう。全3問、基礎レベルの問題です。

問題編

【問題1】 x＝3、y＝4のとき、反比例の式を求めなさい。

【問題2】 x＝5のときy＝2となる反比例の式を求め、x＝10のときのyの値を答えなさい。

【問題3】 以下の表はxとyが反比例の関係にあります。反比例の式を求め、表の空欄を埋めなさい。

【問題4】 y＝8/xのグラフについて、以下の問いに答えなさい。

（1）x＝1、2、4、8のときのyの値を求め、表を完成させなさい。

（2）（1）で求めた点をもとに、グラフを座標に書きなさい。

解説編

【問題1の解説】

① x×yでaを求める

3 × 4 ＝ 12　→　a＝12

② y＝a/xに当てはめる

y ＝ 12/x

【問題2の解説】

① x×yでaを求める

5 × 2 ＝ 10　→　a＝10

② y＝a/xに当てはめる

y ＝ 10/x

③ x＝10のときのyを求める

y ＝ 10/10 ＝ 1

【問題3の解説】

① 表からx＝2、y＝12を読み取り、aを求める

2 × 12 ＝ 24　→　a＝24

② y＝a/xに当てはめる

y ＝ 24/x

③ 表の空欄を埋める

【問題4の解説】

① y＝8/xにそれぞれのxの値を代入する

②グラフを書く

まとめ 反比例のaはかけ算で求める

反比例の式はy＝a/xというシンプルな形が基本です。xとyの値からaを求め、式に当てはめるという2ステップの流れを身につければ、テストの問題にも自信を持って取り組めるようになります。

最初は比例の式と混同したり、aの求め方で迷ったりすることもあるかもしれません。しかし、この記事で解説した手順を繰り返し練習することで、必ず解けるようになっていきます。

まずはこの記事の練習問題を解き直すところから始めてみましょう。