【中3数学】平方根をわかりやすく解説！ルートとの違いや計算のコツまで完全理解

数学の平方根とは？定義をやさしく解説

平方根とは、中学3年生になると登場する数学の概念です。漢字3文字で見た目は難しそうですが、基本的な考え方はシンプルです。

平方根とは、「2乗してその数になる数」のことです。

漢字の成り立ちから考えると、「平方」は「2乗すること」、「根」は「もとになる数」を意味します。まずは「平方根＝2乗してその数になる数」という定義を押さえておきましょう。

平方根の定義を1分で理解する

平方根とは、2乗してその数になる数のことです。

例えば、9 の平方根を考えてみましょう。「2乗して9になる数」は「3」と「-3」です。

これは、3 × 3 ＝ 9、そして (−3) × (−3) ＝ 9 となるためです。

このように、0 以外の正の数の平方根は、正と負の2つが存在します。

なお、0 の平方根は特別です。0 × 0 ＝ 0 となるため、0 の平方根は 0 だけで、1つしかありません。

まずはこの2点を押さえておきましょう。

• 正の数の平方根 → 正と負の2つある（例：9の平方根は +3 と −3）

0 の平方根 → 0 だけ（1つ）

「平方根」と「√（ルート）」の違い

「平方根」と「√（ルート）」は同じ意味だと思われがちですが、実は指す範囲が異なります。この違いを理解しておくと、問題の答え方で迷わなくなります。

ポイントは2つです。

① √は「正の平方根」だけを表す記号

√16 と書いたときは、+4 のみを指します。−4 は含みません。

② 「平方根を答えよ」と言われたら ± をつける 

「16 の平方根を求めよ」という問いに対しては、±4 と答えるのが正解です。√ をつけて答える問いとは区別して考えましょう。

テストでよく見られるミスが、「√16 ＝ ±4」と書いてしまうことです。√ がついている場合は正の数だけなので、答えは 4 のみになります。

図形で直感的に理解する「平方根」のイメージ

定義を言葉で覚えるだけでなく、図形のイメージと結びつけると平方根の意味がより直感的に理解できます。

面積が 9 の正方形があるとします。この正方形の一辺の長さは何でしょうか。

一辺を □ とすると、□ × □ ＝ 9 なので、□ ＝ 3 です。

これがまさに平方根の考え方です。「面積が a の正方形の一辺の長さ」が √a、と覚えると定義と図形が結びつきます。

平方根の基本をマスター！まず「これだけ」覚えよう

平方根の定義が理解できたら、次は実際に答えられるようになることが大切です。

平方根の問題には、パッと答えが出るものと、√を使って表すしかないものの2種類があります。まずは「すぐに答えが出るパターン」を確実に押さえておきましょう。これができるだけで、テストでの得点力が大きく変わります。

まず暗記！頻出の平方数一覧

平方数とは、整数を2乗して得られる数のことです。

1² ＝ 1、2² ＝ 4、3² ＝ 9……のように、整数×整数で作られる数が平方数です。平方数の平方根は √ を使わずに整数で表せるため、問題を解く速度に直結します。

1〜20の平方数一覧

太字にした 4・9・16・25・36・49・64・81・100 は、テストで特に頻出の平方数です。この9つは反射的に答えが出るまで覚えておくと、計算のスピードが上がります。

割り切れないときは√のまま表す

平方数の平方根は整数で答えられますが、例えば「2 の平方根」はどうでしょうか。

2乗して 2 になる数を探しても、1² ＝ 1、2² ＝ 4 と、整数ではぴったり当てはまるものがありません。

電卓で計算すると √2 ＝ 1.41421356… と出てきます。しかしこの小数はどこまでいっても割り切れず、同じ数字の繰り返しにもなりません。

数はその性質によって、次の2種類に分けられます。

√3、√5、√7 なども同様に、整数でも割り切れる小数でも表せないため、√のまま扱います。

±をつける？つけない？問題文で判断するコツ

平方根の問題でよく迷うのが「答えに ± をつけるかどうか」です。実はこれは問題文の言葉で判断できます。

「平方根を求めよ」と言われたら正と負の両方、√がついていたら正の値のみ、と覚えておけば書き分けに迷うことはなくなります。

平方根の計算をマスター！足し算から簡略化まで

平方根の意味が理解できたら、次は計算です。√ を使った計算には独自のルールがあり、知っているかどうかで差がつく部分でもあります。足し算・引き算・掛け算・割り算の順に、基本的なルールを確認していきましょう。

√の足し算・引き算

√ の足し算・引き算は、√の中の数が同じものだけまとめられるというルールがあります。

これは文字式の「同類項をまとめる」考え方と同じです。たとえば x＋x＝2x となるように、√2＋√2＝2√2 となります。

まとめられる例

• √2 ＋ √2 ＝ 2√2
• 3√5 ＋ 2√5 ＝ 5√5
• 4√3 － √3 ＝ 3√3

まとめられない例

• √2 ＋ √3　→　このままで終わり

√2 と √3 は中の数が違うため、一つにまとめることができません。2＋3＝5 として √5 にしてしまうミスが非常に多いので注意が必要です。

√の掛け算・割り算

掛け算

まず、√a × √a がどうなるかを考えてみましょう。√a とは「2乗すると a になる数」のことです。つまり √a を2回掛ければ、もとの a に戻ります。

√a × √a ＝ a

この考え方を延長すると、中の数が違う場合でも同様のルールが成り立ちます。

√a × √b ＝ √(ab)　（ただし、a>0,b>0のとき）

√ どうしを掛けるときは、中の数をそのまま掛け合わせて√の中に入れるだけです。

• √2 × √3 ＝ √6
• √5 × √5 ＝ 5
• √3 × √12 ＝ √36 ＝ 6

割り算

割り算も掛け算と同じ考え方で、√の中どうしを割るだけです。

√a ÷ √b ＝ √(a÷b)

• √6 ÷ √2 ＝ √3
• √12 ÷ √3 ＝ √4 ＝ 2

割った結果が平方数になる場合は、√を外して整数で答えるのを忘れないようにしましょう。

ルートの中を簡単にする方法【素因数分解を活用】

√12 や √18 のように、ルートの中が大きい数のままだと計算しづらく、テストでも減点の対象になります。ルートの中はできる限り小さい数に整理するのがルールです。

考え方：平方数を外に出す

ルートの中に平方数（4、9、16、25…）が隠れている場合、その平方根をルートの外に出すことができます。

たとえば √12 を整理してみましょう。

ステップ①　ルートの中を「平方数×残り」に分解する

12 ＝ 4 × 3 と分解できます。4 は平方数（2²）です。

√12 ＝ √(4×3)

ステップ②　ルートを分けて書く

√(4×3) ＝ √4 × √3

ステップ③　平方数のルートを外に出す

√4 ＝ 2 なので、外に出します。

√4 × √3 ＝ 2√3

これで √12 ＝ 2√3 と整理できました。

「平方数がどこに隠れているか」がパッと見えないときは、素因数分解を使うと確実です。素因数分解とは、ある数を「かけ合わせると元の数になる素数（2・3・5・7…）」に分解することで、中学2年生で学習した内容です。

例えば √72 を整理する場合、まず 72 を素因数分解します。

72 ÷ 2 = 36

36 ÷ 2 = 18

18 ÷ 2 = 9

 9 ÷ 3 = 3

 3 ÷ 3 = 1

→ 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²

次に、2乗になっているグループをルートの外に出します。

√72 = √(2² × 2 × 3²)

     = √2² × √2 × √3²   ← それぞれに分ける

     = 2  × √2 × 3      ← 2乗のルートは整数になる

     = 6√2

ポイントは「2つ同じ数が並んでいたらルートの外に出せる」という感覚を持つことです。2³のうち2²の分だけ外に出て、残りの2¹がルートの中に残る、と考えると整理しやすくなります。

練習してみよう

ルートの中を整理できているかどうかが、答案の完成度を左右します。計算の最後に「ルートの中を簡単にできないか」を確認する習慣をつけておきましょう。

要注意！平方根でよくある2つのミス

平方根の計算は、ルールを正しく理解していても思わぬところでミスが起きやすい分野です。ここでは特に多い間違いを2つ取り上げます。「知っている」と「やらかさない」は別物なので、自分がミスするクセがないか確認しながら読んでみてください。

√の中の足し算は分けられない！

√の中の足し算を、外に出して分けることはできません。実際に数字で確かめてみましょう。

a＝1、b＝4 を√(a+b)＝√a＋√bに代入して両辺を比べます。

左辺と右辺で値が異なるため、この等式は成り立ちません。

√ は「2乗してその数になる数」を表す記号であり、足し算のように分配することはできないのです。掛け算（√a × √b ＝ √ab）はできるのに、足し算はできない、という点を混同しないよう注意しましょう。

√の中がマイナスのとき

例えば√(−4) のように、ルートの中がマイナスになった場合、中学数学では答えなし（解なし）として扱います。

どんな数でも2乗すると必ず0以上になるため、2乗してマイナスになる数は中学の範囲では存在しないからです。

なお、√の中がマイナスになる数は「虚数」と呼ばれ、高校数学で改めて学習します。中学段階では「ルートの中がマイナスになったら答えなし」とだけ覚えておけば十分です。

平方根の練習問題【問題編】

ここまで学んだ内容を、実際に問題を解いて確認しましょう。レベル1から順に挑戦してみてください。解答は次のセクションで確認できます。

レベル1

問1. 36 の平方根を答えなさい。

問2. √49 の値を答えなさい。

問3. 次のうち、正しいものを選びなさい。

• ア　√25 ＝ ±5
• イ　√25 ＝ 5
• ウ　√25 ＝ −5

問4. 0 の平方根を答えなさい。

レベル2

問5. 次の計算をしなさい。

• (1)　3√2 ＋ 5√2
• (2)　4√3 － √3
• (3)　√5 × √5
• (4)　√3 × √7

問6. √18 を簡単にしなさい。

問7. √50 － √8 を計算しなさい。

レベル3

問8. 次の計算は正しいか、間違っているか答えなさい。間違っている場合は正しい答えも書きなさい。

• (1)　√(9＋16) ＝ √9 ＋ √16 ＝ 7
• (2)　√2 × √8 ＝ √16 ＝ 4

問9. √75 を簡単にしなさい。

問10. 次の √ の中がマイナスになるものはどれか、すべて選びなさい。

• ア　√(3－5)
• イ　√(5－3)
• ウ　√(2－2)

平方根の練習問題【解説編】

問題は解けましたか？ここでは各問題の答えと考え方を確認します。間違えた問題は解説を読んで、どこでつまずいたかを確認しておきましょう。

レベル1

問1. 36 の平方根を答えなさい。 答え：±6 

2乗して 36 になる数を探します。6 × 6 ＝ 36、(−6) × (−6) ＝ 36 なので、正と負の2つが答えです。

問2. √49 の値を答えなさい。 答え：7 

√ は正の平方根だけを表すので、−7 は含みません。7 × 7 ＝ 49 より、答えは 7 のみです。

問3. 正しいものを選びなさい。 答え：イ 

√25 は「25 の正の平方根」なので 5 のみです。±5 は「25 の平方根を求めよ」と言われたときの答えです。√ がついている場合は正の値だけと覚えておきましょう。

問4. 0 の平方根を答えなさい。 答え：0 

0 × 0 ＝ 0 なので、0 の平方根は 0 だけです。正負のペアにはなりません。

レベル2

問5. (1)　3√2 ＋ 5√2　→　答え：8√2 

√2 の部分が同じなので、係数だけ足します。3＋5＝8 なので 8√2 です。

(2)　4√3 － √3　→　答え：3√3 √3 の係数は 4 と 1 です。4－1＝3 なので 3√3 になります。

(3)　√5 × √5　→　答え：5 

√5 を2乗すると、定義よりもとの数に戻ります。√5 × √5 ＝ 5 です。

(4)　√3 × √7　→　答え：√21 

√どうしの掛け算は中の数を掛け合わせます。3 × 7 ＝ 21 なので √21 です。

問6. √18 を簡単にしなさい。 答え：3√2 

18 ＝ 9 × 2 と分解します。√18 ＝ √(9×2) ＝ √9 × √2 ＝ 3√2 です。

問7. √50 － √8 を計算しなさい。 答え：3√2 

まず両方を簡単にします。

• √50 ＝ √(25×2) ＝ 5√2
• √8 ＝ √(4×2) ＝ 2√2

5√2 － 2√2 ＝ 3√2 です。√のまま引き算しようとせず、先に簡単にする習慣をつけましょう。

レベル3

問8. (1)　√(9＋16) ＝ √9 ＋ √16 ＝ 7　→　間違い 

正しい答えは √25 ＝ 5 です。√の中の足し算を外に分けることはできません。まず 9＋16＝25 を計算してから √25 ＝ 5 とするのが正しい手順です。

(2)　√2 × √8 ＝ √16 ＝ 4　→　正しい 

√2 × √8 ＝ √(2×8) ＝ √16 ＝ 4 で合っています。

問9. √75 を簡単にしなさい。 答え：5√3 

75 ＝ 25 × 3 と分解します。√75 ＝ √(25×3) ＝ √25 × √3 ＝ 5√3 です。

問10. √の中がマイナスになるものをすべて選びなさい。 答え：ア

• ア　3－5 ＝ −2　→　√の中がマイナス（答えなし）
• イ　5－3 ＝ 2　→　√の中は正の数（問題なし）
• ウ　2－2 ＝ 0　→　√の中は 0（0はマイナスではないので√0＝0として答えが存在します）

まとめ 平方根を理解して数学を得意科目にしていこう

平方根は、最初は記号の見た目から難しそうに感じるかもしれません。しかし本質は「2乗してその数になる数」というシンプルな定義です。この一点を軸に、√の意味・計算のルール・よくあるミスの原因と順番に整理していけば、自然と問題が解けるようになります。

大切なのは、公式を丸暗記しようとするのではなく「なぜそうなるのか」を理解することです。例えば√の足し算がまとめられる場合とそうでない場合も、同類項の考え方と結びつければ混乱しません。ルートの中を簡単にする計算も、「平方数を外に出す」という一つの考え方から導けます。

最初から全部を完璧に理解しようとしなくて大丈夫です。まず頻出の平方数を覚え、基本的な計算に慣れることから始めてみましょう。。少しずつ手を動かして問題を解いていくうちに、平方根の感覚は自然と身についていきます。