【中3数学】二次方程式とは？3つの解き方・見分け方・文章題までわかりやすく解説

二次方程式とは？まずは意味と基本を理解しよう

二次方程式の計算方法を覚える前に、まず「そもそも二次方程式とはどんな式なのか」を理解しておきましょう。

二次方程式の形や「解」の意味を理解しておくと、なぜ答えが2つ出ることがあるのか、なぜ右辺を0にする必要があるのかもわかりやすくなります。

二次方程式の定義と基本形をわかりやすく解説！

二次方程式とは、式を整理したときにax²＋bx＋c＝0（a≠0）の形で表される方程式のことです。

「二次」とは、文字xの次数の最大が2であることを意味します。簡単にいえば、x²の項が含まれている方程式です。

たとえば、x²＋3x＋2＝0はx²の項があるので二次方程式です。一方、3x＋2＝0はxが1乗までしかないため、一次方程式です。

また、二次方程式の基本形では「a≠0」という条件があります。もしa＝0なら、ax²の項がなくなり、bx＋c＝0となって一次方程式になってしまうからです。

bやcについては、0でも問題ありません。たとえば、x²－9＝0はb＝0、3x²＋5x＝0はc＝0ですが、どちらもx²の項が残っているため二次方程式です。

二次方程式を解くときは、右辺を0にした形に整理することが基本になります。たとえば、x²＋3x＝－2なら、右辺の－2を左辺へ移項してx²＋3x＋2＝0とします。

この「＝0の形に整える」という考え方は、因数分解や解の公式を使うときにも必要になります。

二次方程式の「解」とは？

方程式に代入したとき、その方程式を成り立たせるxの値を解といいます。

たとえば、x²＝9という二次方程式では、x＝3を代入すると3²＝9となります。一方、x＝－3を代入しても(－3)²＝9となります。

そのため、この方程式の解はx＝3、－3の2つです。

一次方程式では解が1つになることが基本ですが、二次方程式では解が2つになることが多いという違いがあります。

ただし、すべての二次方程式で解が2つになるわけではありません。たとえば、(x－3)²＝0ではx＝3だけが解になります。このように、2つの解が同じ値になる場合、その解を重解といいます。

また、求めた値が本当に解になっているか不安なときは、もとの式に代入して確認できます。たとえば、x²－9＝0の解としてx＝－3を求めた場合、(－3)²－9＝9－9＝0となります。左辺が0になるため、x＝－3が正しい解だと確認できます。

一次方程式と二次方程式の違い

一次方程式と二次方程式は、「文字の次数」と「解の出方」に大きな違いがあります。違いを整理すると、次のようになります。

一次方程式ではxを1つ求めればよい問題が中心でした。一方、二次方程式では解が2つ出る場合があるため、「もう1つ解がないか」を意識することが重要です。

二次方程式の解き方は3パターン！

二次方程式の基本的な解き方は、平方根・因数分解・解の公式の3つです。

どの方法を使っても同じ答えが得られる場合がありますが、式の形によって解きやすい方法は異なります。まずはそれぞれの特徴と手順を理解していきましょう。

パターン①：平方根で解く方法

x²＝数の形になっている二次方程式は、平方根を使って解くことができます。

平方根とは、2乗するともとの数になる値のことです。たとえば3²＝9、(－3)²＝9なので、9の平方根は±3です。

例題①　x²－9＝0を解け

－9を右辺へ移項して、平方根を使います。

x²－9＝0 → x²＝9 → x＝±√9＝±3

したがって、答えはx＝3、－3です。

例題②　x²－3＝0を解け

同じように整理すると、x²－3＝0 → x²＝3 → x＝±√3となります。

√3は整数にできないため、そのまま答えにして問題ありません。

例題③　2x²＝18を解け

x²の前に2がついていますが、まず両辺を2で割ります。

2x²＝18 → x²＝9 → x＝±3

このように、最初からx²＝数の形になっていなくても、両辺を同じ数で割ることでx²＝数の形にできる場合は平方根を使えます。

例題④　(x＋2)²＝5を解け

この場合は、x＋2をひとかたまりとして考えます。

(x＋2)²＝5 → x＋2＝±√5 → x＝－2±√5

一見すると難しそうですが、「何かの2乗＝数」になっていれば平方根を使えると考えれば同じです。

平方根の計算自体に不安がある場合は、平方根の基本から復習しておくと二次方程式も解きやすくなります。

【中3数学】平方根をわかりやすく解説！ルートとの違いや計算のコツまで完全理解

パターン②：因数分解で解く方法

二次方程式を2つの式のかけ算に分けられる場合は、因数分解を使うと速く解けます。

因数分解では、A×B＝0なら、A＝0またはB＝0という性質を利用します。

例題①　x²＋5x＋6＝0を解け

「足すと5、かけると6になる2つの数」は2と3です。

x²＋5x＋6＝0 → (x＋2)(x＋3)＝0 → x＝－2、－3

それぞれのかっこを0とおいて解けば答えが求められます。

例題②　x²－4x＝0を解け

定数項がない場合は、共通するxでくくれることがあります。

x²－4x＝0 → x(x－4)＝0 → x＝0、4

x＝0も解の1つなので、書き忘れないようにしましょう。

例題③　x²－6x＋9＝0を解け

因数分解すると、x²－6x＋9＝0 → (x－3)²＝0 → x＝3となります。

このように同じ因数が2つ重なる場合は、解が1つになります。

因数分解のやり方そのものが曖昧な場合は、先に因数分解を復習しておくと、この解法を使いやすくなります。

因数分解のやり方を中学生向けに解説！公式の見分け方を東大卒監修で紹介

パターン③：解の公式で解く方法

因数分解が難しい二次方程式でも、解の公式を使えば解を求めることができます。

ax²＋bx＋c＝0（a≠0）のとき、解の公式はx＝(－b±√(b²－4ac))／2aです。

少し複雑に見えますが、a・b・cの値を確認して順番に代入すれば解けます。

例題①　x²－5x＋3＝0を解け

この式ではa＝1、b＝－5、c＝3です。

x＝{－(－5)±√((－5)²－4×1×3)}／2 → x＝(5±√13)／2

したがって、答えはx＝(5±√13)／2です。

例題②　2x²＋3x－1＝0を解け

a＝2、b＝3、c＝－1を代入します。

x＝{－3±√(3²－4×2×(－1))}／4 → x＝(－3±√17)／4

cがマイナスの場合は、－4acの部分で符号ミスをしやすいので注意しましょう。

例題③　x²－4x＋4＝0を解け

a＝1、b＝－4、c＝4を代入すると、x＝{4±√(16－16)}／2＝4／2＝2となります。

√の中が0になると、解は1つになります。

解の公式についてさらに詳しく知りたい場合は、公式の使い方や計算ミスの対策を解説した記事も参考にしてください。

【中3数学】二次方程式の解の公式とは？使い方とミス対策を東大卒ライターが伝授

平方根で解ける形に変形する方法

二次方程式の中には、そのままでは平方根を使えなくても、「何かの2乗＝数」の形に変形することで解けるものがあります。

このように、x²＋6xのような式を(x＋3)²の形に変える方法を平方完成といいます。

たとえば、x²＋6x＋5＝0を平方の形に変形してみましょう。

まず5を右辺へ移項し、xの係数6の半分である3を2乗した9を両辺に足します。

x²＋6x＋5＝0

→ x²＋6x＝－5

→ x²＋6x＋9＝4

 → (x＋3)²＝4

ここまでくれば平方根を使えるので、x＋3＝±2 → x＝－1、－5となります。

平方完成は、すべての問題で最優先に使う方法ではありません。因数分解できるなら因数分解、難しければ解の公式を使った方が速い場合もあります。

「平方の形に変形して解きなさい」と指定された問題や、式の仕組みを理解するときに使う方法として覚えておくとよいでしょう。

二次方程式はどの解き方を使う？見分け方をフローチャートで解説

平方根・因数分解・解の公式を理解しても、実際の問題では「どれを使えばいいのかわからない」と迷うことがあります。

二次方程式では、式の形を見て解法を判断する力も重要です。迷ったときは、次の順番で確認しましょう。

まず平方根で解ける形か確認する

最初に、x²＝数または(x＋a)²＝数の形になっていないか確認します。

たとえばx²＝16ならx＝±4とすぐ解けます。また、3x²＝27も両辺を3で割ればx²＝9となるため、平方根を使えます。

ポイントは、今の式そのものではなく、簡単に整理すれば平方根を使える形になるかを見ることです。

次に因数分解できるか確認する

平方根で簡単に解けない場合は、因数分解できるか確認します。

たとえばx²＋5x＋6＝0なら、(x＋2)(x＋3)＝0と因数分解できます。

このような問題で解の公式を使っても答えは出ますが、計算量が増えてしまいます。因数分解できる問題は、因数分解で解くのが速いと覚えておきましょう。

因数分解できなければ解の公式を使う

因数分解しようとしても数の組み合わせが見つからない場合は、解の公式に切り替えます。

たとえばx²－5x＋3＝0では、「足して－5、かけて3になる整数」は見つかりません。

数秒考えて因数分解できそうにないと感じたら、解の公式へ切り替える判断も大切です。

問題のタイプ別・解き方早見表

どの方法を使うか迷うときは、式の形を手がかりに判断しましょう。

判断の流れは、「平方根で解ける形か確認 → 因数分解できるか確認 → 難しければ解の公式」と覚えると迷いにくくなります。

二次方程式でよくあるミスと対策

二次方程式は、解き方を理解していても計算途中のミスで失点しやすい単元です。

特に、符号・±・√・約分など、細かい部分で間違いが起こりやすくなります。自分がやりがちなミスがないか確認しておきましょう。

プラスマイナスの記号「±」をつけ忘れてしまう

平方根を使って解くときに多いのが、±を書き忘れるミスです。

たとえばx²＝9の答えをx＝3だけにしてしまうことがありますが、(－3)²＝9も成り立ちます。

したがって、正しい答えはx＝±3です。

平方根を使ったら、プラスとマイナスの2つがないか確認する習慣をつけましょう。

因数分解したあとの符号を間違えてしまう

因数分解そのものは正しくできていても、最後に符号を逆にしてしまうことがあります。

たとえば、(x－6)(x＋1)＝0なら、x－6＝0またはx＋1＝0なので、正しい解はx＝6、－1です。

「かっこの中の数字をそのまま答えにする」のではなく、かっこの中が0になるxを求めると考えましょう。

因数分解にこだわって時間を無駄にしてしまう

すべての二次方程式が、整数を使ってきれいに因数分解できるわけではありません。

たとえばx²－5x＋3＝0では、「足して－5、かけて3になる整数」は見つかりません。

このような問題を「きっと因数分解できるはず」と考え続けると、テストでは時間を大きく失います。因数分解がすぐに見つからない場合は、解の公式に切り替えることも大切です。

解の公式で符号を間違えてしまう

解の公式では、－bやb²－4acの部分で符号ミスが起こりやすくなります。

たとえばb＝－5なら、b²＝(－5)²＝25です。－25ではありません。

また、cがマイナスの場合はマイナスが重なるため、さらに注意が必要です。

a・b・cを公式へ代入するときは、負の数を必ずかっこに入れて書くようにすると、符号ミスを防ぎやすくなります。

√の中の計算をミスしてしまう

解の公式を使うと、答えに√が残ることがあります。

たとえば、√18＝√(9×2)＝3√2、√32＝√(16×2)＝4√2です。

答えが出たところで計算を終わらせず、√の中を簡単にできないか確認しましょう。

移項するときに符号を変え忘れてしまう

移項のときに符号を変え忘れると、その後の計算がすべてずれてしまいます。

たとえば、x²＋3x＝－2 → x²＋3x＋2＝0です。

－2が＋2に変わる点に注意しましょう。移項したあとに、符号が変わっているか一度確認するだけでもミスを減らせます。

答えが分数のとき、約分を忘れてしまう

解の公式を使うと、答えが分数になることがあります。

たとえば、x＝(6±4√2)／2まで求めた場合は、x＝3±2√2まで整理します。

また、x＝(5±3)／2なら、プラスとマイナスに分けて計算し、x＝4、1まで求めましょう。

解を1つしか書かずに終わってしまう

二次方程式では、解が2つ出ることがあります。

たとえば、(x－2)(x－5)＝0なら、x＝2とx＝5の両方が解です。

因数分解や平方根を使ったあとは、「解を全部書いたか」まで確認する習慣をつけましょう。

二次方程式を使った文章題の解き方

二次方程式は、計算問題だけでなく文章題にも使われます。

文章題になると、「どの数をxにすればいいのかわからない」「式は作れたけれど、出てきた解をそのまま答えていいのかわからない」と迷いやすくなります。

文章題では、文章を二次方程式に置き換えることと、求めた解が問題の条件に合っているか確認することがポイントです。

文章題を二次方程式にする基本の手順

文章題でも、解き方の流れを決めておけば整理しやすくなります。

基本的には、

①求めたいものをxとおく → ②条件をxで表す → ③二次方程式を作る → ④方程式を解く → ⑤条件に合うか確認する

という順番で考えます。

特に重要なのが最後の確認です。方程式を解いた結果x＝－3が出ても、「長さ」や「正の整数」を求める問題では、－3を答えとして使えない場合があります。

連続する整数を求める文章題

まずは、整数を求める典型的な文章題を見てみましょう。

問題：連続する2つの正の整数があります。それぞれの2乗の和が85になるとき、この2つの整数を求めなさい。

小さい方の整数をxとすると、もう1つはx＋1です。

したがって、x²＋(x＋1)²＝85となります。

これを整理すると、2x²＋2x－84＝0 → x²＋x－42＝0 → (x＋7)(x－6)＝0となるため、x＝－7、6です。

ただし、問題では「正の整数」と書かれています。－7は条件に合わないため、小さい方の整数は6、もう1つは7です。

答え：6と7

面積や長さを求める文章題

次に、長方形の面積を使う文章題を見てみましょう。

問題：縦の長さが横の長さより3cm短い長方形があります。面積が40cm²のとき、横と縦の長さを求めなさい。

横の長さをxcmとすると、縦の長さはx－3cmです。

面積が40cm²なので、x(x－3)＝40 → x²－3x－40＝0 → (x－8)(x＋5)＝0となります。

したがって、x＝8、－5です。

ただし、長さが－5cmになることはありません。そのため、x＝8を使います。

横は8cm、縦は8－3＝5cmです。

答え：横8cm、縦5cm

求めた解が問題の条件に合うか確認する

文章題では、二次方程式を正しく解けても、求めた値をそのまま答えにできるとは限りません。

たとえば、長さなら0より大きい数、人数や個数なら整数など、問題ごとに条件があります。

そのため、「二次方程式の解」と「文章題としての答え」は同じとは限らないことを覚えておきましょう。

方程式を解いたあとに、必ず問題文へ戻り、条件に合う値かを確認してください。

【定期テスト対策】二次方程式の練習問題

二次方程式は、解き方を読んだだけでは身につきにくい単元です。

実際に自分で式を見て、「平方根・因数分解・解の公式のどれを使うか」を判断しながら解くことで、少しずつ解法を選べるようになります。

ここでは、解法ごとの基本問題を確認したあと、最後に解き方を自分で選ぶ総合問題と文章題に挑戦します。

平方根を使って解く問題

平方根を使う問題では、まずx²＝数の形にできるかを確認しましょう。

問題① x²－16＝0

x²－16＝0 → x²＝16 → x＝±4

答え：x＝±4

問題② 3x²＝27

3x²＝27 → x²＝9 → x＝±3

答え：x＝±3

問題③ (x＋3)²＝7

(x＋3)²＝7 → x＋3＝±√7 → x＝－3±√7

答え：x＝－3±√7

因数分解を使って解く問題

因数分解を使う問題では、式をかけ算の形にできるかを確認します。

問題① x²＋7x＋12＝0

x²＋7x＋12＝0 → (x＋3)(x＋4)＝0 → x＝－3、－4

答え：x＝－3、－4

問題② 2x²－6x＝0

2x²－6x＝0 → 2x(x－3)＝0 → x＝0、3

答え：x＝0、3

問題③ x²－6x＋9＝0

x²－6x＋9＝0 → (x－3)²＝0 → x＝3

答え：x＝3

解の公式を使って解く問題

因数分解しにくい問題では、解の公式を使います。

問題① x²－6x＋1＝0

a＝1、b＝－6、c＝1を代入すると、x＝{6±√(36－4)}／2＝(6±√32)／2＝3±2√2です。

答え：x＝3±2√2

問題② 2x²＋3x－1＝0

a＝2、b＝3、c＝－1を代入すると、x＝{－3±√(9＋8)}／4＝(－3±√17)／4です。

答え：x＝(－3±√17)／4

解き方を自分で選ぶ総合問題

ここからは、どの解法を使うかも自分で判断してみましょう。

問題① x²＝25

すでにx²＝数の形なので平方根を使い、x＝±5です。

問題② x²＋8x＋15＝0

因数分解すると、(x＋3)(x＋5)＝0 → x＝－3、－5です。

問題③ x²＋4x＋1＝0

簡単に因数分解できないので解の公式を使います。

x＝{－4±√(16－4)}／2＝(－4±2√3)／2＝－2±√3

このように、問題ごとに「どの方法が一番解きやすいか」を判断する練習をすると、テスト本番でも迷いにくくなります。

二次方程式を使った文章題

最後に、文章から自分で二次方程式を作る問題です。

問題：連続する2つの正の整数の積が72です。この2つの整数を求めなさい。

小さい方をxとすると、もう1つはx＋1なので、x(x＋1)＝72となります。

整理すると、x²＋x－72＝0 → (x＋9)(x－8)＝0 → x＝－9、8です。

正の整数という条件からx＝8を選ぶので、もう1つは9です。

答え：8と9

文章題では、方程式を解いたあとに問題文の条件へ戻って確認するところまでが解答です。

まとめ 二次方程式は「解き方を見分ける」ことがポイント

二次方程式には、平方根・因数分解・解の公式という3つの基本的な解き方があります。

それぞれの手順を覚えることも大切ですが、実際の問題では、式の形を見てどの方法を使うか判断できることがより重要です。

迷ったときは、「平方根で解ける形か確認 → 因数分解できるか確認 → 難しければ解の公式」という順番で考えてみましょう。

また、計算では、±の書き忘れや因数分解後の符号、解の公式への代入、√の簡略化、約分、解の書き漏れなどにも注意が必要です。文章題では、求めた解が問題の条件に合っているかも必ず確認しましょう。

二次方程式を得意にする近道は、公式だけを覚えることではなく、「式を見る→解法を選ぶ→計算する→答えを確認する」までを1つの流れとして身につけることです。

平方根や因数分解で手が止まる場合は、その単元まで戻って復習してから再び二次方程式に取り組むと、解き方の理解も深まりやすくなります。