【中3数学】二次方程式とは？3パターンの解き方や解の公式をまとめて解説！

二次方程式とは？基本の考え方

二次方程式とは、ax²＋bx＋c＝0（aは0でない） の形で表される方程式のことです。「二次」とは、xが2回かけられている（2乗されている）ことを意味します。

一次方程式と何が違うのか、まず比べてみましょう。

一次方程式は「xを求める」だけでしたが、二次方程式では解が2つ出ることがあるのが大きな特徴です。たとえば x²＝9 の答えは x＝3 と x＝－3 の2つになります。

また、二次方程式を解くためには、右辺を0にした形に整理することが基本です。たとえば x²＋3x＝－2 のような式は、まず右辺を0にして x²＋3x＋2＝0 の形に変形してから解きます。

この「＝0の形に整える」という考え方が、すべての解き方の出発点になります。

二次方程式の解き方は3パターン！

二次方程式の解き方は、大きく3つのパターンがあります。

どれを使えばいいか迷ったときは、①→②→③の順番で確認するのが基本です。

解の公式はどんな二次方程式にも使える万能な方法ですが、計算が複雑になりやすいため、まず①②で解けないかを確認するのがおすすめです。それぞれの解き方をひとつずつ見ていきましょう。

パターン①：平方根で解く方法

x²＝（数）の形になっていたら、平方根で解きます。手順はシンプルで、両辺に±√をつけるだけです。

ここで「平方根」をおさらいしておきましょう。平方根とは、2乗するともとの数になる値のことです。たとえば3²＝9、(－3)²＝9なので、9の平方根は±3になります。まずは以下の例題を見ていきましょう。

例題①　x²－9＝0 を解け

x²－9＝0 

x²＝9 

x＝±√9 

x＝±3

まず－9を右辺に移項して「x²＝9」の形を作ります。あとは両辺に±√をつければ完成です。

例題②　x²－3＝0 を解け

x²－3＝0 

x²＝3 

x＝±√3

例題①と同じ流れですが、今度は√3がきれいな整数になりません。こういうときは√のままで答えにしてOKです。無理に計算しようとしなくて大丈夫です。

例題③　(x＋2)²＝5 を解け

(x＋2)²＝5 x＋2＝±√5 x＝－2±√5

一見むずかしそうに見えますが、x²のかわりに（x＋2）をひとかたまりとして考えれば、やることは同じです。（x＋2）をひとつの文字のように見て、両辺に±√をつけます。最後に－2を移項すれば答えの完成です。

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パターン②：因数分解で解く方法

二次方程式が2つのかけ算の形に分解できるとき、因数分解を使って解きます。

因数分解とは、式を「（　）×（　）＝0」の形に変形することです。かけ算の結果が0になるということは、どちらかの（　）が必ず0になっているはずです。この性質を使って解を求めます。まずは以下の例題を見ていきましょう。

例題①　x²＋5x＋6＝0 を解け

x²＋5x＋6＝0 

(x＋3)(x＋2)＝0 

x＝－3,－2

たすき掛けで「足すと5、かけると6になる2つの数」を探します。2と3がその組み合わせです。(x＋3)＝0のときx＝－3、(x＋2)＝0のときx＝－2と、解が2つ出るのが二次方程式の特徴です。

例題②　x²－4x＝0 を解け

x²－4x＝0 

x(x－4)＝0 

x＝0,4

定数項（数だけの項）がないときは、xでくくることができます。x＝0も立派な解のひとつなので、忘れずに答えに書きましょう。

例題③　x²－6x＋9＝0 を解け

x²－6x＋9＝0 

(x－3)²＝0

x＝3

同じ数が2つ重なる形（完全平方式といいます）になることがあります。このときは解が1つだけになります。

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パターン③：解の公式で解く方法

因数分解ができないとき、解の公式を使えば必ず解を求めることができます。どんな二次方程式にも使える、いわば最終手段です。

解の公式はこちらです。

ax²＋bx＋c＝0で、aが0でないとき、x＝－b±√(b²－4ac)／2a

a・b・cに数字を代入するだけで解が求められます。まずは以下の例題を見ていきましょう。

例題①　x²－5x＋3＝0 を解け

因数分解しようとしても「足して－5、かけて3になる整数」は見つかりません。こういうときが解の公式の出番です。a・b・cを丁寧に代入して、ステップごとに計算していきましょう。

a＝1、b＝－5、c＝3を公式に代入します。

x＝－(－5)±√((－5)²－4×1×3)／(2×1) x

＝5±√(25－12)／2 

x＝5±√13／2

例題②　2x²＋3x－1＝0 を解け

aが1以外のときも、やることは同じです。あわてず順番にa・b・cを確認してから代入しましょう。cがマイナスのときは、－4acの計算で符号ミスが起きやすいので特に注意が必要です。

a＝2、b＝3、c＝－1を公式に代入します。

x＝－3±√(3²－4×2×(－1))／(2×2) 

x＝－3±√(9＋8)／4 

x＝－3±√17／4

例題③　x²－4x＋4＝0 を解の公式で解け

a＝1、b＝－4、c＝4を公式に代入します。

x＝－(－4)±√((－4)²－4×1×4)／(2×1) 

x＝4±√(16－16)／2 

x＝4±√0／2 

x＝4／2 

x＝2

√の中が0になると±√0＝0となり、解が1つだけになります。これはパターン②の例題③と同じ問題です。解の公式はどんな式にも使えるので、因数分解できる問題に使っても、もちろん同じ答えが出ます。

解の公式については、以下の記事で詳しく解説していますので、ぜひご覧ください。

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二次方程式でよくあるミスと対策まとめ

二次方程式は解き方を覚えても、計算ミスで点を落としてしまうことがよくあります。ここでは、中学生がつまずきやすいミスのパターンと、その対策をまとめました。自分がやりがちなミスがないか、確認しながら読んでみてください。

プラスマイナスの記号「±」をつけ忘れてしまう

平方根で解くとき、答えに±をつけ忘れて「x＝3」とだけ書いてしまうミスです。テストで最も多いミスのひとつです。

例えば x²＝9 を解くとき、3²＝9なのでx＝3と書きがちですが、(－3)²＝9も成り立ちます。つまり正しい答えはx＝±3の2つです。

x²＝9 

x＝±√9 

x＝±3

因数分解にこだわって、時間を無駄にしてしまう

因数分解できない問題に対して、「絶対に因数分解できるはず…」とずっと考え続けてしまうミスです。テスト中に時間を大きく消費してしまう、もったいないパターンです。

すべての二次方程式が因数分解できるわけではありません。因数分解できるのは、整数の組み合わせがうまくはまる場合だけです。

例えば x²－5x＋3＝0 は、「足して－5、かけて3になる整数」が存在しないため、因数分解できません。こういう問題は迷わず解の公式に切り替えるのが正解です。

√の中の計算をミスしてしまう

解の公式を使うとき、√の中の計算（b²－4ac）でミスが起きやすいです。また、答えが出たあとに√の中を簡単にし忘れるケースも多く見られます。

①√の中の計算ミス

たとえば x²－5x＋3＝0 を解の公式で解くとき、a＝1、b＝－5、c＝3を代入します。

x＝5±√(25－12)／2 

x＝5±√13／2

このとき b²＝(－5)²＝25 と正しく計算できていればよいのですが、マイナスの2乗を「－25」と計算してしまうミスがよく起きます。bがマイナスのときは、（　）をつけて2乗する癖をつけておきましょう。

②√の中を簡単にし忘れる

x＝3±√18／2　のような答えが出たとき、√18を簡単にせずそのまま答えにしてしまうミスです。

√18＝√(9×2)＝3√2　なので、正しい答えは

x＝3±3√2／2

となります。答えが出てもそこで終わりにせず、√の中が簡単にできないか確認するひと手間を忘れないようにしましょう。

移項するときに符号を変え忘れてしまう

二次方程式を解く途中で、移項するたびに符号のミスが起きやすいです。特に「＋」を移項して「＋」のまま書いてしまうパターンがよく見られます。

例えば x²＋3x＝－2 を解くとき、右辺の－2を左辺に移項すると

x²＋3x＋2＝0

となります。移項すると符号が変わる（－2が＋2に変わる）のが正しいのですが、そのまま

x²＋3x－2＝0　←　間違い

と書いてしまうミスです。この段階で符号を間違えると、その後の因数分解や解の公式の答えもすべてずれてしまいます。

答えが分数のとき、約分を忘れてしまう

解の公式を使うと、答えが分数の形で出てくることがよくあります。そこで計算を終わりにしてしまいがちですが、約分できる場合はそこまでが答えです。

例えば x²－5x＋4＝0 を解の公式で解くと、

x＝(5±√(25－16))／2 

x＝(5±√9)／2 

x＝(5±3)／2

ここで止まらず、±を分けて計算します。

x＝(5＋3)／2＝8／2＝4 そして、x＝(5－3)／2＝2／2＝1

つまり x＝4,x＝1　が正しい答えです。

また、解の公式の答えが x＝(6±4√2)／2 のような形になったときも、分子と分母を2で割って x＝3±2√2 と簡単にする必要があります。分数の形で答えが出たら、約分・整理できないかを必ず確認する習慣をつけておきましょう。

二次方程式の理解を深めよう！【発展】

ここからは、二次方程式をさらに深く理解するための発展的な内容を紹介します。中学校の定期テストでは必須ではありませんが、高校数学では当たり前のように登場する考え方です。「もっと理解を深めたい」「高校数学も先取りしたい」という人はぜひ読んでみてください。

解く前に解の個数がわかる！判別式

解の公式を使うと、必ず√の中に b²－4ac という計算が出てきます。実はこの部分だけに注目すると、方程式を解かなくても「解が何個あるか」を先に判断できます。この b²－4ac のことを判別式といい、Dという文字で表します。

D＝b²－4ac

Dの値によって、解の個数が次のように決まります。

ここで「実数解」という言葉が出てきました。中学数学では「解がない」と表現しますが、高校数学では√の中がマイナスになる場合を「虚数解」と呼び、実数とは区別して扱います。中学段階では「D＜0のときは解なし」と覚えておけばOKです。

実際に判別式を使ってみましょう。

例題　x²－3x＋4＝0　の解の個数を判別式で調べよ

a＝1、b＝－3、c＝4を代入します。

D＝(－3)²－4×1×4 D＝9－16 D＝－7

D＜0なので、この方程式は実数解を持ちません。わざわざ解の公式で計算しなくても、解が存在しないことをすばやく判断できるのが判別式の便利なところです。

グラフで見ると二次方程式がもっとわかる

二次方程式 ax²＋bx＋c＝0 の解は、y＝ax²＋bx＋c のグラフがx軸と交わる点のx座標と一致します。つまり二次方程式を解くことは、グラフとx軸の交点を求めることと同じです。

判別式Dの値とグラフの関係も、次のようにつながっています。

例題　x²－4x＋3＝0 の解とグラフの関係を確認せよ

因数分解すると、

x²－4x＋3＝0 

(x－1)(x－3)＝0

 x＝1,x＝3

つまり y＝x²－4x＋3 のグラフは、x軸と x＝1 と x＝3 の2点で交わります。グラフと方程式をセットでイメージできるようになると、高校数学での理解がぐっと深まります。

解と係数の関係を使いこなそう

二次方程式 ax²＋bx＋c＝0 の2つの解をα（アルファ）、β（ベータ）とすると、次の関係が成り立ちます。

解の和：α＋β＝－b／a 解の積：α×β＝c／a

これを解と係数の関係といいます。実際に解を求めなくても、係数a・b・cさえわかれば解の和と積が計算できるのが特徴です。

例題　x²－5x＋6＝0　の解の和と積を求めよ

a＝1、b＝－5、c＝6を代入します。

解の和：α＋β＝－(－5)／1＝5 解の積：α×β＝6／1＝6

実際に因数分解で解くと x＝2、x＝3 なので、2＋3＝5、2×3＝6と一致していますね。解と係数の関係は高校数学で特に頻繁に登場するので、「こういう関係があるんだ」と頭の片隅に入れておきましょう。

【定期テスト対策】テストで狙われる二次方程式の問題（レベル別）

解き方を読んだだけでは、本番で解けないことがよくあります。

ここでは基礎・標準・応用の3レベルに分けて、定期テスト頻出の問題を用意しました。まずは基礎から順番に挑戦してみましょう。

基礎問題

解き方のパターンを確認しながら解ける問題です。「習ったばかりで不安」という人はここから始めましょう。

問題①　x²－16＝0

問題②　x²＋7x＋12＝0

問題③　2x²－6x＝0

解いてみましたか？それでは解説です。

問題①　x²－16＝0

x²＝16 

x＝±√16 

x＝±4

x²＝（数）の形なので平方根で解きます。√16＝4とスッキリ整数になるので、±4が答えです。

問題②　x²＋7x＋12＝0

(x＋3)(x＋4)＝0 

x＝－3,x＝－4

「足して7、かけて12になる2つの数」は3と4です。因数分解してそれぞれ0になるxを求めます。

問題③　2x²－6x＝0

2x(x－3)＝0 

x＝0,x＝3

定数項がないのでxでくくります。2xと(x－3)それぞれが0になるxを求めましょう。x＝0も忘れずに答えに書くことがポイントです。

標準問題

基礎問題が解けた人は、次のステップに挑戦しましょう。解き方の選択や、√の計算が含まれる問題です。

問題①　x²－6x＋1＝0

問題②　(x＋3)²＝7

問題③　3x²＋5x－2＝0

解いてみましたか？それでは解説です。

問題①　x²－6x＋1＝0

a＝1、b＝－6、c＝1を解の公式に代入します。

x＝(6±√(36－4))／2 

x＝(6±√32)／2 

x＝(6±4√2)／2 

x＝3±2√2

ず解の公式に切り替えましょう。√32＝√(16×2)＝4√2と簡単にしてから約分するのがポイントです。

問題②　(x＋3)²＝7

x＋3＝±√7 

x＝－3±√7

(x＋3)²＝（数）の形なので平方根で解きます。(x＋3)をひとかたまりとして±√をつけ、最後に－3を移項すれば完成です。

問題③　3x²＋5x－2＝0

(3x－1)(x＋2)＝0 

x＝1／3,x＝－2

aが1以外のときの因数分解はたすき掛けを使います。3×(－2)＝－6、1×1＝1となる組み合わせを探すと(3x－1)(x＋2)に分解できます。x＝1／3のような分数の解もそのまま答えになります。

応用問題

ここまでの内容をしっかり理解できた人向けの問題です。判別式・解と係数の関係・グラフとのつながりを使って解く、発展的な問題に挑戦してみましょう。

問題①　x²＋kx＋4＝0 が重解を持つとき、kの値を求めよ

問題②　x²－7x＋3＝0 の2つの解をα、βとするとき、α＋βとα×βの値を求めよ

問題③　y＝x²－4x＋k のグラフがx軸と異なる2点で交わるとき、kの範囲を求めよ

それでは解説です。

問題①　x²＋kx＋4＝0 が重解を持つとき、kの値を求めよ

重解を持つのはD＝0のときです。a＝1、b＝k、c＝4を判別式に代入します。

D＝k²－4×1×4 

D＝k²－16

D＝0とおくと、

k²－16＝0 

k²＝16 

k＝±4

k＝4のとき x²＋4x＋4＝(x＋2)²＝0 より x＝－2（重解） 

k＝－4のとき x²－4x＋4＝(x－2)²＝0 より x＝2（重解）

判別式を使うことで、実際に解を求めなくてもkの値を導けます。

問題②　x²－7x＋3＝0 の2つの解をα、βとするとき、α＋βとα×βの値を求めよ

a＝1、b＝－7、c＝3を解と係数の関係に代入します。

α＋β＝－(－7)／1＝7 α×β＝3／1＝3

実際に解の公式で解くと x＝(7±√37)／2 となり、複雑な数になります。解と係数の関係を使えば、こうした計算が煩雑な問題でも和と積をすばやく求められます。

問題③　y＝x²－4x＋k のグラフがx軸と異なる2点で交わるとき、kの範囲を求めよ

x軸と異なる2点で交わるのはD＞0のときです。a＝1、b＝－4、c＝kを判別式に代入します。

D＝(－4)²－4×1×k 

D＝16－4k

D＞0とおくと、

16－4k＞0 －4k＞－16 k＜4

つまり k＜4 のとき、グラフはx軸と異なる2点で交わります。判別式とグラフの関係を組み合わせた、高校数学でも頻出のパターンです。

まとめ 二次方程式の解き方をマスターして数学に強くなろう！

この記事では、二次方程式の解き方を3つのパターンに分けて解説しました。最後にポイントを振り返っておきましょう。

どれを使えばいいか迷ったときは、平方根→因数分解→解の公式の順番で確認するのが基本です。

また、計算ミスを防ぐためには、±の書き忘れや移項の符号ミス、√の簡略化し忘れに気をつけることが大切です。解き方を理解したあとは、練習問題を繰り返して手を動かすことが上達への一番の近道です。

二次方程式は、高校数学でも土台になる重要な単元です。今のうちにしっかりマスターしておくことで、この先の数学がぐっとラクになります。ぜひ何度も問題を解いて、自信をつけていきましょう！